link download MK & Tugas klik disini

BAB I

PERTIDAKSAMAAN

Definisi Pertidaksamaan

Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.

Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:

Jika a > b dan b > c, maka a > c
(ii) Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

Jika a < b dan b < c, maka a < c
Jika a < b, maka a + c < b + c
Jika a < b, maka a - c < b – c
Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)

Jenis pertidaksamaan

Jenis pertidaksamaan anatara laian :

Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan bentuk pecahan
Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ( modus)

Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”

Sifat-sifatnya :

Kedua ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
Kedua ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
Kedua ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :

Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
Kemudian sederhanakan

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !

Jawab

      5x – 5 < 7x + 3

5x – 7x < 3 + 5

     - 2x < 8

         x > - 4
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?

Jawab

Penyelesaian

2(x-3) < 4x+8

2x - 6 < 4x+8

2x – 4x< 6+8

-2x < 14

X > -7

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a 0.

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara lain:

Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

Langkah-langkah:
- Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat
- Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
- Uji titik pada masing-masing daerah
- Tentukan HP nya

Contoh soal

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !

Jawab

( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0

x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )

jadi Hp = {x|2<x<5}
Tentukan HP dari   x² – 2x – 8 ≥ 0

Jawab :

Batas : x² – 2x – 8 = 0

(x - 4)(x + 2) = 0

x = 4 atau x = -2



Karena yang diminta ≥ 0 maka yang memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x ≥ 4}

Pertidaksamaan bentuk pecahan

pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :

Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
Sederhanakan ruas kiri.
Ubah bentuk menjadi a.b
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
Berikan tanda pada setiap interval.
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan 0

Perhatikan Contoh soal :

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Merupakan pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan !

Jawab

3x + 2 < - 5 atau 3x + 2 > 5

3x < - 7 3x > 3

x < -7/3 x > 1

BAB II

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Konsep fungsi

Fungsi atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B

Operasi dalam Fungsi :

Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)

y = f (x) : rumus untuk fungsi f

x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas

Contoh :

Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}

a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).

b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.

c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :

a. f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1

f (1) = 1

f (2) = 3

f (3) = 5

f (4) = 7

—

—

—

—

—

—

—

y = f(x)

Pengertian fungsi komposisi

Merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R_f ∩ D_g ≠ Ø

Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).

Notasi : (f o g)(a) = f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f

Contoh :

Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut

f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)

Jawab:

a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,1), (4,3)}

c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4)

Contoh

Diketahui

f : R ® R ; f(x) = 2x² +1, g : R ® R ; g(x) = x + 3

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

Jawab:

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4

(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

Contoh :

Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.

f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x² dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

Jawab:

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)²

h(x) = 64 → (-x + 1)²= 64 ↔ -x + 1 = ± 8

-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9

Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

Contoh

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .

Jawab:

f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

3p – p = 240 – 120

2p = 120 ® p = 60

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)

ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

perhatikan contoh soal :

Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

Maka nilai

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)

Kemudian nilai

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

Begitu juga

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

Sehingga perhatikan contoh soal berikut:

1. diketahui f : R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x² + 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)

jawab:

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x² + 5

   (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)

                              = 2(3x – 1)² + 5

                             = 2(9x² – 6x + 1) + 5

                            = 18x² – 12x + 2 + 5

                            = 18x² – 12x + 7
f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x² + 5)

= 3(2x² + 5) – 1

= 6x² + 15 – 1

(f o g)(x) = 6x² + 14

(g o f)(x) = 18x² – 12x + 7

(g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

Konsep Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh: f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^{-1 :
x = f(y)}

Maka (f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)

ingat :

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh

Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f ^-1 (x)!

Aplikasi fungsi komposisi

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Diketahui f(x) = 2x + 5dan (f o g)(x) = 3x² – 1, Tentukan g(x).

Jawab

f(x) = 2x + 5 dan

(fog)(x) = 3x² - 1

f[g(x)] = 3x² - 1

2.g(x) + 5 = 3x² - 1

2.g(x) = 3x² - 1 - 5 = 3x² - 6

Jadi g(x) = 1/2 (3x² - 6)

BAB III

FUNGSI LIMIT

Pengertian limit

Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Sehingga Limit fungsi f (x) adalah suatu nilai fungsi yang diperoleh melalui proses pendekatan atau dengan variabel x, baik dari arah x yang lebih kecil, maupun dari arah x yang lebih besar.

Secara umum : bila limit f (x) adalah L, untuk x mendekati , maka limit f (x) ditulis

dengan x ® a dibaca x mendekati

Pengertian limit secara intuitif

Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut:

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2?

Penyelesaian :

Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut:

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.

Teorema Limit

Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, dan adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di titik , maka:

Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak hal pada penyelesaian soal-soal tentang limit.

Contoh:

Limit fungsi Aljabar

Suatu fungsi f(x) didefinisikan untuk x mendekati a, maka :

Mengalikan dengan Sekawan

Contoh :

Mengalikan dengan Sekawan

Contoh :

Berikut ini akan dibahas limit limit fungsi Aljabar bentuk tak tentu yaitu : .

Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :

1. Karena , maka sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan

2. Nilai limitnya ada jika dan hanya jika :

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekwannya.

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi

Gambar 3.1 segitiga siku-siku

Pada gambar 3.1 di atas, ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Misal AB = x, BC = y dan AC = r , berdasarkan segitiga

Selanjutnya berdasarkan perbandingan tersebut dapat dibuat beberapa rumus tentang fungsi trigonometri. Rumus-rumus tersebut dapat ditunjukkan melalui gambar.

Perhatikan gambar berikut ini.